Аксиом
Евклидийн геометр гэж 10 жилийн сургалтын хөтөлбөрт орсон математикийн салбар ухаан байдаг.
Евклидийн геометр гэж 10 жилийн сургалтын хөтөлбөрт орсон математикийн салбар ухаан байдаг.
Уул нь насанд хүрсэн л бол (монгол) хүн бүхэн сонссон байх учиртай.
Юу гэхээр, хавтгай цаасан дээр зурсан "цэг, шулуун, гурвалжин, хавтгай..." этр гэсэн геометрийн дүрсүүдтэй нөгөө хичээл.
Үүнийг МЭӨ 300 оны үед Египетийн математикч Евклид анх системчилж босгож ирсэн гэдэг.
Тэгвэл Евклид үүнийг анх яаж босгож ирсэн бэ?
Тэрээр,
Эхлээд 5 ширхэг Аксиомыг тодорхойлж, тэдгээр 5 аксиомоо хооронд нь угсарч холбож ашигласаар, өдий төдий геометрийн шинж чанаруудыг нээн олох
гэдэг арга хэрэглэсэн байна.
Энд гарах Аксиом гэдэг нь "Батлах ямар ч шаардлагагүй, илэрхий үнэн шинж"-ийг хэлж байгаа юм.
Жишээ нь, Евклидийн геометрийн 5 дахь аксиомыг Параллел шулууны аксиом гэх бөгөөд, энэ нь
– Хавтгай дээр хоорондоо хэзээ ч огтолцохгүй 2 шулуун татаж болно шүү
гэх утгатай эд юм. Үнэхээр ч бодоод үзэхээр, яаж ч үргэлжлүүлээд хоорондоо үл огтолцох шулуунуудыг татаж болно гэдэг нь, элдэв баталгаа гэлгүй илэрхий шахуу ойлгомжтой зүйл биз.
Эдгээр 5 аксиомын тусламжтайгаар "Гурвалжны дотоод өнцөгүүдийн нийлбэр 180 хэм" гэх мэтийн Теоремыг гаргаж авдаг. Мөн иймэрхүү теоромуудыг ашиглаад улам дээд түвшний нарийн теоремыг гаргаж авна. Ингэж явсаар Евклидийн геометр маань энэ 5 аксиом дээр суурилсан аварга том уул овоо болсон хэрэг юм.
Евклидийн геометр нь туйлын илэрхий аксиом дээр суурилсан бөгөөд, маш цэвэрхэн ойлгомжтой тул "Гагцхүү объектив үнэнийг өгүүлсэн тэмдэглэл" мэтээр олон түмэнд ойлгогдож байлаа.
Гэвч, түр хүлээнэ үү!!
Энд нэг том асуудал бийг орхиж үл болно.
Хэдий аксиом нь илэрхий үнэн гэх боловч, эцсийн эцэст батлагдаагүй гэдэг нь бас үнэн юм.
Иймээс Евклидийн геометр нь батлагдаагүй үнэнийг суурь болгож биеллээ олсон гэсэн үг. Тэгэхээр, эрт орой хэзээ нэгэн цагт ердөө ганц л зөрчилтэй теорем олдох аваас, түүний шууд шалтгаан нь анхны 5 аксиом руу шилжих тул, эндээс уг онолын систем маань бүхлээрээ нуран унахад хүрэх болно.
Гэх боловч, мэдээж бүхий л хүмүүс
– Тийм юм гэж хаанаас байх вэ. Ийм энгийн бөгөөд гуа сайхан бүрдсэн туйлын үнэнд алдаа гарч ирэх ёс уул шугамандаа байх учиргүй
гэж бодож байсан бөгөөд
– Тэгээд ч, Евклидын геометрийн 5 аксиомыг үл ялиг л дураараа өөрчилж орхивол, тэр дороо л зөрчил үүсэх биз. Тийм болохоор, одоогийн Евклидын геометрт ямар ч зөрчил байхгүй байгаа юм чинь, зайлшгүй шаардлагаар дээрх 5 аксиом байхаас өөр аргагүй
хэмээн хэлэлцэж, онолын систем нь өөрөө өөрийнхөө суурь аксиомыг алдаагүй болохыг батлана гэж сэтгэж байв.
Гэвч, 1830-аад онд суут математикч Гаусс дээрх асуудлыг ул суурьтай нягталсны эцэст, гайхалтайгаар, 5 дахь аксиомыг "Ямар ч хоёр шулуун гарцаагүй нэг цэгээр огтолцоно" болгож өөрчилсөн цоо шинэ геометрийн систем байж болохыг олоод нээчхэв.
Тэгээд энэхүү шинэ систем нь Евклидийн бус геометр гэж нэрлэгдэн, муруй цаасан дээрх геометрийн дүрс гэх байдлаар хүмүүст ойлгогдов. Тэр онолоор бол гурвалжны дотоод өнцөгүүдийн нийлбэр нь 180 хэм болохгүй.
Евклидийн бус геометр нь Евклидийн геометрээс тэс өөр шинж чанартай атал, түүн дотор ширхэг зөрчил байсангүй.
Энэ нь тухайн үеийн эрдэмтэн мэргэдийн хувьд байж боломгүй цочир явдал байлаа.
Ерөөс геометр гэлгүй математик, философи, шашин, ер ямар ч онолын систем нь гарцаагүй, зайлшгүйгээр тодорхой тооны аксиом (буюу батлах боломжгүй боловч, үнэн гэсэн харанхуй зөвшилцөл)–ыг сууриа болгож, түүн дээрээ тулж хөгжин босч ирсэн зүйлс байдаг.
Оргүй хоосноос онолыг босгож ирэх бололцоо байхгүй.
Ямар ч онол бай, гарцаагүй түүнд аксиом байхгүй бол болохгүй.
Эрт үеэс хүмүүс, аксиом дээр суурилж хөгжүүлсэн онол дотор ямар ч зөрчил илрэхгүй бол, тэр онолын системийг аксиомтой нь хамт Үнэн зөв гэж боддог байж.
Гэтэл Евклидийн бус геометрийг нээснээс хойш, онолын системд дотоод зөрчил байхгүй нь, тухайн онолын зөвтгөл болж чадахгүй гэдгийг сая нэг ойлгов. Учир нь тэр аксиомыг нь шал өөр аксиомоор сольсон ч зөрчил үүсэхгүй байж болно гэдэг нь ил болсон хэрэг.
Тэгээд ч, Харьцангуйн онол дахь огторгуйн муруйлтыг нээснээс хойш, харин ч Евклидийн бус геометр нь бодит ертөнцөд илүү нийцтэй болж таарч, гуа үзэсгэлэнт Евклидийн онол маань ердөө л хүн төрөлхитөний хоосон төөрөгдөл байсан нь тогтоогдов.
Тэгэхээр, хоорондоо авцалдахаар хэдэн аксиомыг өөрийн үзэмжээр эвтэйхэн шиг тодорхойлчих юм бол, хэд л бол хэдэн дотоод зөрчилгүй бүхэл бүтэн онолын систем үүсгээд байж болдог байх нь.
Энэ явдлаас хойш, аливаа шинжлэх ухааны онолын системийг "абсолют үнэний тэмдэглэл" гэж бус, ердөө л "тухайн аксиомын хувьд, логик зарчмаар мөрдөгдөн бий болох бүхий л шинж чанарын тоочилт" гэж үзэх болсон юм.
Үүнээс 100 жилийн дараа, Гёдель (Kurt Gödel)–ийн Гүйцэд бусын теорем мэндэлж,
– Бидний хүн төрөлхитөн ямар ч аксиомыг суурь болгон сонгож аваад, зөрчилгүй мэт харагдах онолын системийг цогцлоон бүтээсэн ч, тэрхүү онолын системийн зөрчилгүй эсэхийг тухайн онолын систем дотор нягтлах ямар ч боломжгүй тул, сонгосон аксиом нь үнэхээр үнэн зөв эсэхийг үнэмшиж мэдэх ямар ч арга байхгүй
гэдэг үнэнд хүрснээр, бүхий л онолууд тэр дороо дахин сэхэхгүйгээр гүн шоконд орсон гэдэг билээ.
Уул нь насанд хүрсэн л бол (монгол) хүн бүхэн сонссон байх учиртай.
Юу гэхээр, хавтгай цаасан дээр зурсан "цэг, шулуун, гурвалжин, хавтгай..." этр гэсэн геометрийн дүрсүүдтэй нөгөө хичээл.
Үүнийг МЭӨ 300 оны үед Египетийн математикч Евклид анх системчилж босгож ирсэн гэдэг.
Тэгвэл Евклид үүнийг анх яаж босгож ирсэн бэ?
Тэрээр,
Эхлээд 5 ширхэг Аксиомыг тодорхойлж, тэдгээр 5 аксиомоо хооронд нь угсарч холбож ашигласаар, өдий төдий геометрийн шинж чанаруудыг нээн олох
гэдэг арга хэрэглэсэн байна.
Энд гарах Аксиом гэдэг нь "Батлах ямар ч шаардлагагүй, илэрхий үнэн шинж"-ийг хэлж байгаа юм.
Жишээ нь, Евклидийн геометрийн 5 дахь аксиомыг Параллел шулууны аксиом гэх бөгөөд, энэ нь
– Хавтгай дээр хоорондоо хэзээ ч огтолцохгүй 2 шулуун татаж болно шүү
гэх утгатай эд юм. Үнэхээр ч бодоод үзэхээр, яаж ч үргэлжлүүлээд хоорондоо үл огтолцох шулуунуудыг татаж болно гэдэг нь, элдэв баталгаа гэлгүй илэрхий шахуу ойлгомжтой зүйл биз.
Эдгээр 5 аксиомын тусламжтайгаар "Гурвалжны дотоод өнцөгүүдийн нийлбэр 180 хэм" гэх мэтийн Теоремыг гаргаж авдаг. Мөн иймэрхүү теоромуудыг ашиглаад улам дээд түвшний нарийн теоремыг гаргаж авна. Ингэж явсаар Евклидийн геометр маань энэ 5 аксиом дээр суурилсан аварга том уул овоо болсон хэрэг юм.
Евклидийн геометр нь туйлын илэрхий аксиом дээр суурилсан бөгөөд, маш цэвэрхэн ойлгомжтой тул "Гагцхүү объектив үнэнийг өгүүлсэн тэмдэглэл" мэтээр олон түмэнд ойлгогдож байлаа.
Гэвч, түр хүлээнэ үү!!
Энд нэг том асуудал бийг орхиж үл болно.
Хэдий аксиом нь илэрхий үнэн гэх боловч, эцсийн эцэст батлагдаагүй гэдэг нь бас үнэн юм.
Иймээс Евклидийн геометр нь батлагдаагүй үнэнийг суурь болгож биеллээ олсон гэсэн үг. Тэгэхээр, эрт орой хэзээ нэгэн цагт ердөө ганц л зөрчилтэй теорем олдох аваас, түүний шууд шалтгаан нь анхны 5 аксиом руу шилжих тул, эндээс уг онолын систем маань бүхлээрээ нуран унахад хүрэх болно.
Гэх боловч, мэдээж бүхий л хүмүүс
– Тийм юм гэж хаанаас байх вэ. Ийм энгийн бөгөөд гуа сайхан бүрдсэн туйлын үнэнд алдаа гарч ирэх ёс уул шугамандаа байх учиргүй
гэж бодож байсан бөгөөд
– Тэгээд ч, Евклидын геометрийн 5 аксиомыг үл ялиг л дураараа өөрчилж орхивол, тэр дороо л зөрчил үүсэх биз. Тийм болохоор, одоогийн Евклидын геометрт ямар ч зөрчил байхгүй байгаа юм чинь, зайлшгүй шаардлагаар дээрх 5 аксиом байхаас өөр аргагүй
хэмээн хэлэлцэж, онолын систем нь өөрөө өөрийнхөө суурь аксиомыг алдаагүй болохыг батлана гэж сэтгэж байв.
Гэвч, 1830-аад онд суут математикч Гаусс дээрх асуудлыг ул суурьтай нягталсны эцэст, гайхалтайгаар, 5 дахь аксиомыг "Ямар ч хоёр шулуун гарцаагүй нэг цэгээр огтолцоно" болгож өөрчилсөн цоо шинэ геометрийн систем байж болохыг олоод нээчхэв.
Тэгээд энэхүү шинэ систем нь Евклидийн бус геометр гэж нэрлэгдэн, муруй цаасан дээрх геометрийн дүрс гэх байдлаар хүмүүст ойлгогдов. Тэр онолоор бол гурвалжны дотоод өнцөгүүдийн нийлбэр нь 180 хэм болохгүй.
Евклидийн бус геометр нь Евклидийн геометрээс тэс өөр шинж чанартай атал, түүн дотор ширхэг зөрчил байсангүй.
Энэ нь тухайн үеийн эрдэмтэн мэргэдийн хувьд байж боломгүй цочир явдал байлаа.
Ерөөс геометр гэлгүй математик, философи, шашин, ер ямар ч онолын систем нь гарцаагүй, зайлшгүйгээр тодорхой тооны аксиом (буюу батлах боломжгүй боловч, үнэн гэсэн харанхуй зөвшилцөл)–ыг сууриа болгож, түүн дээрээ тулж хөгжин босч ирсэн зүйлс байдаг.
Оргүй хоосноос онолыг босгож ирэх бололцоо байхгүй.
Ямар ч онол бай, гарцаагүй түүнд аксиом байхгүй бол болохгүй.
Эрт үеэс хүмүүс, аксиом дээр суурилж хөгжүүлсэн онол дотор ямар ч зөрчил илрэхгүй бол, тэр онолын системийг аксиомтой нь хамт Үнэн зөв гэж боддог байж.
Гэтэл Евклидийн бус геометрийг нээснээс хойш, онолын системд дотоод зөрчил байхгүй нь, тухайн онолын зөвтгөл болж чадахгүй гэдгийг сая нэг ойлгов. Учир нь тэр аксиомыг нь шал өөр аксиомоор сольсон ч зөрчил үүсэхгүй байж болно гэдэг нь ил болсон хэрэг.
Тэгээд ч, Харьцангуйн онол дахь огторгуйн муруйлтыг нээснээс хойш, харин ч Евклидийн бус геометр нь бодит ертөнцөд илүү нийцтэй болж таарч, гуа үзэсгэлэнт Евклидийн онол маань ердөө л хүн төрөлхитөний хоосон төөрөгдөл байсан нь тогтоогдов.
Тэгэхээр, хоорондоо авцалдахаар хэдэн аксиомыг өөрийн үзэмжээр эвтэйхэн шиг тодорхойлчих юм бол, хэд л бол хэдэн дотоод зөрчилгүй бүхэл бүтэн онолын систем үүсгээд байж болдог байх нь.
Энэ явдлаас хойш, аливаа шинжлэх ухааны онолын системийг "абсолют үнэний тэмдэглэл" гэж бус, ердөө л "тухайн аксиомын хувьд, логик зарчмаар мөрдөгдөн бий болох бүхий л шинж чанарын тоочилт" гэж үзэх болсон юм.
Үүнээс 100 жилийн дараа, Гёдель (Kurt Gödel)–ийн Гүйцэд бусын теорем мэндэлж,
– Бидний хүн төрөлхитөн ямар ч аксиомыг суурь болгон сонгож аваад, зөрчилгүй мэт харагдах онолын системийг цогцлоон бүтээсэн ч, тэрхүү онолын системийн зөрчилгүй эсэхийг тухайн онолын систем дотор нягтлах ямар ч боломжгүй тул, сонгосон аксиом нь үнэхээр үнэн зөв эсэхийг үнэмшиж мэдэх ямар ч арга байхгүй
гэдэг үнэнд хүрснээр, бүхий л онолууд тэр дороо дахин сэхэхгүйгээр гүн шоконд орсон гэдэг билээ.
Зочин
Миний аксиом
Bat
Bat
Bat
Tumur
Зочин
оном