Бид өнөөдрөөрөө амьдарч, өнөө­дөр л болж байвал маргааш хамаагүй гэх үзлээр оршин буй сэтгэгдэл төр­дөг. Боловс­рол­той  бол  хөгжинө гэж ярьдаг. Харин юуг сурч, яаж амьдарч, яаж хөгжих ёстой юм бол. Энэ бүхэнд ямар нэгэн учгаар хариу авах, бусад олон сонирхолтой асуудлыг хөн­дөх зорилгоор  “Олонлог” төв сургуулийг үүсгэн байгуулагч, математикийн шинжлэх ухааны доктор Б.Баяс­галантай уулзаж ярилцлаа.    

-Тантай математикийн тухай ярья гэж зорьсон юм. Ер нь мате­матик гэж юу вэ?

-Энэ бол олон үеийн туршид, хүний оюун ухааны хөгжил эхэлсэн цагаас тавигдсан асуудал. Нэг талаас, мате­матикийг байгалийн шинжлэх ухааны нэг хэсэг гэж үздэг. Жишээлэхэд, газар тариалангийн талбайг хэмжихтэй холбоотой үүссэн гэх зэргээр тайл­барлах дуртай. Материалист агуул­гаараа ийм байж болох ч юм. Нөгөө талаас, хүн анх мэндлэхдээ мате­матикийн төрөлх зөн билэгтэй төрдөг. Нэг, хоёр, натурал тоо хүний тархинд суулгаастай байдаг. Хүүхэд хэзээ хоол идэхээ, хэзээ унтаж сэрэхээ мэддэг. Энэ бол цаана нь хүний тархинд тоон бүтэц хадгалагдсан, суулгаастай, хадагдсан гэсэн үг. Тодорхой хурц өнгийн юмыг нялх хүүхдэд харуулахад түүн рүү тэмүүл­дэг. Аливаа зүйлийг авах гэж тэмүүлдэг хүүхдийн орон зайн мэдрэмж нь анхнаасаа л тархинд нь байдаг гэсэн үг. Гурван хэмжээстэй огторгуй мөн л тархинд хадмал гэсэн үг. Тэгэхээр бодит зүй тогтол уу, логик зүй тогтол уу гэсэн эргэцүүлэл эрхгүй төрөх юм даа. Ерөөсөө математик бол товч­хондоо хэлэхэд ертөнц дээр байж болох бүхий л юмсын зүй тогтлыг агуулж байдаг. Үүнийг 1900 онд болсон математикчдын анхдугаар их хурлаас хайж тодруулбал илүү ухаарагдах байх. Германы Геттингенд болсон энэхүү хуралд  сод математикч Давид Гильберт тухайн үед математикт шийдэгдэх шаардлагатай 23 асуудлыг томьёолж ирж буй ХХ зуунд шийдэх ёстой гэж зарласан байдаг. Тэдгээрийн нэг нь математикийг тэр чигээр нь прог­рамм­­чилах, бүгдийг нь алгоритм­чилсан, одооны хэлээр бол компьюте­рээр шийдэх хэмжээнд хүргэж заг­варчлах  асуудал байсан. Гэтэл ма­тематикч­дын хувьд аз болж 1931 онд Гёделийн алдартай теоремууд бат­лагд­сан. Гүйцэд байдлын, гүйцэд бус байдлын гэх Гёделийн хоёр теорем байдаг. Энэ теоремуудаас математик гэж юу болох талаар төсөөлөл авч болно. Мөн Гильбертийн загварчлах асуудалд боломжгүй гэсэн хариултыг ч өгсөн юм.  Гүйцэд байдлын теоремыг задгайгаар томьёолж ярья.  Үнэн гэж юу вэ гэж. Үнэн гэдэг нь математикт хоёр янзаар тодорхойлогдоно. Нэг нь бол тодорхой зүйлүүдийг анхнаас нь аксиом байдлаар үнэн гэж авч үзээд тэндээс логик дүгнэлт гаргахыг үнэн гэж хэлдэг. Нөгөө талаас ертөнц дээр байдаг бодит загварууд дээр биелдэг зүйлсийг үнэн гэж үздэг. Хэзээ нэгэн цагт, хаа нэгэн газарт, харь гариг дээр ч биелж болох тэр зүй тогтлыг судалдаг шинжлэх ухаан бол математик юм.

-Таны хэлж байгаагаар, ма­тематик оюун санаанд үүсч байгаа зүй тогтлууд бодит ертөнц дээр биелэх юм байна. Гильберт, Гё­делийн тулааныг цааш нь тод­руулбал ямар үр дүн гарах вэ?

-Өөрийн чинь хэлж буй бол гүйцэд байдлын Гёделийн теоремын гол утга санаа. Өөрөөр хэлбэл, семантик утга синтаксис үнэн хоёр тэнцэнэ. Уураг тархинд болоод оюун дүгнэлтээр гарсан үнэн ямар нэгэн газар, хэзээ нэгэн цагт биелнэ. Тэгэхээр өөр соёл иргэншил, уураг тархины загварт орон зайн мэдрэмж олон хэмжээстэй байж болно. Тэглээ ч тэнд явагдаж байгаа цаад математикийн зүй тогтлууд нь бидний ярьдагтай адилхан байх нь дамжиггүй. Гёделийн хоёр дахь алдарт үр дүн болох гүйцэд бус байдлын тухай теорем нь математикийг тэр чигээр нь, байгалийн тухай, ертөнцийн тухай хүний мэдлэгийг прог­рамм­чилах тухай Гильбертийн асуудлыг нураасан үр дүн юм. Хэрвээ ямар нэг арга хэрэгслүүдийг урьдчилаад тов­лочих юм бол тэр арга хэрэгслээр шийдэгддэггүй үр дүнгүүд, асуудлууд үргэлж  байна гэж баталсан юм. Өөрөөр хэлбэл, өөрөө өөрийгөө төгсгөлгүй гэж математик баталсан. Тэгэхээр энд Гильбертийн хөтөлбөр бүтэлгүй болох нь тодорхой болж байна. Гильберт анхнаас нь хэд хэдэн абсолют үнэнүүд биччихээд тэндээс бүх математикийн үр дүнг гаргах гэж зорьсон.  Гёделийнхоор энэ боломж­гүй. Математикч хүнд хийх ажил үргэлж байна. Тухайн он цагт шийдэгд­сэн асуудал байлаа гэхэд тэр аргаар шийдэгдээгүй өөр асуудлууд гараад ирнэ. 1990-ээд оны дундуур “Мате­матикчид ажилгүй болох уу” гэсэн өгүүлэл бичиж байхдаа ч энэ талаар хөндөж байсан. Өөрөө өөрийгөө төгсгөлгүй, өөрөө өөрийгөө гоо сайхан гэж нотолсон шинжлэх ухаан бол математик юм. Энэ утгаараа ч аугаа юм. Энэ салбарын үнэн хэзээд ч дуусахгүй.  Ямар ч урьдчилж сонгосон арга хэрэгслээс давж гарахуйц ший­дэг­дээгүй асуудлууд байсаар байх болно. Өнөөгийн байдлаар гэхдээ Гильбертийн 1900 онд дэвшүүлсэн асуудлуудын ихэнх нь шийдэгдсэн. Түүний уриалан дуудагч үзэл санааг бид хүндэтгэж явах учиртай. Одоо математикчид өөр цаг үед амьдарч байна. Өнөөдөр математикт тэр үетэй харьцуулшгүй асар их шинэчлэлүүд гарсан. Математикийн айхтар том шинэчлэлүүдийг бие даасан инс­титутүүд бус бие даасан хувь улсууд шийдээд байгаа нь бүр их сонирхол татаж байна. Математикчид  ин­тернэтэд өдөр тутам  шинэ үр дүн­гүүдийг ямар ч харамсах сэт­гэл­гүйгээр тавьж байгаа нь гайхалтай.

-Клейгийн институт гэж байгуул­лагаас 2000 онд математикт шийдэг­дээгүй долоон асуудлыг гаргаж тавьсан гэх мэдээлэл олж үзлээ.  Математикчдын нэр төр, хөдөл­мөрийг яаж үнэлэх вэ гэдэг хачин асуулт байж магадгүй?

-Тэгэхээр математикт эрхэм үнэн байдаг. Мэдээж хэрэг, тухайн хүний хийсэн судалгаа, баталгааны явц нүсэр хүнд байх нь бий. Аль ч алхам дээр ямар нэгэн ялимгүй алдаа га­рахад тэр чигээрээ боловсруулсан онол,  бодолт, шийдэлт нь сүйрэх магадлалтай. Тэгэхээр мате­матикч­дын хувьд  шийдсэн арга нь үнэн байхыг л мэдрэх нь чухал. Гэхдээ энэ нь аргалах биш, абсолют үнэний тухай асуудал яригдаж байгаа учраас л юм.  Тийм учраас зарим  олон жил мате­матик үзсэн хүн бол тэр теоремынхоо үнэн гэдгийг мэдсэн учраас асар их таашаал авдаг. Би нэг жишээ авъя л даа. Фермагийн их теорем гэж ал­дартай, 300 гаруй жил шийдэгдээгүй асуудал бий. Уг теоремыг 1990-ээд оны дундуур хэд хэдэн математикчид шийдсэн гэж зарлаж байсан. Японы нэг математикч шийдсэн гэж зарласан ч хэдхэн сарын дотор алдаа гаргасан нь мэдэгдээд өөрийгөө егүүтгэсэн гэж сонсогдсон. Таны асууж буй Клейгийн институт бол 1900 оны Гильбертийн өв уламжлалыг хадгалж ХХI зуунд мате­матикийн ямар асуудлыг шийдэх вэ гэсэн асуудлыг тавьсан математикийн судалгааны хувийн байгууллага юм. Тэрхүү зарласан долоон асуудлын нэг нь Пуанкарегийн гэх тодотголтой алдартай теорем бий. Тэрхүү асууд­лыг шийдсэн орос залуу бий. Бид долоо хоног олон улсын олимпиадад оролцож танилцах боломж олдож байсан. Мань хүн тэр алдартай асууд­лыг шийдсэн ч математикчдын хам­гийн өндөр нэр төртэй Фильдсийн алтан медаль, сая долларын шагналаас татгалзчихаад авсангүй.

-Тэгээд Фермагийн их теорем батлагдах нь практик ямар ач холбогдолтой юм бэ. Батлагдахгүй байлаа гэхэд яах вэ?  

-Хоёр зүйл бий л дээ. Математикт ер нь хоёр соёл байгаа юм. Нэг нь шийдэгдээгүй асуудлуудыг шийдэх спорт маягийн зүйл гэх үү дээ.  Нөгөөх нь онолыг хөгжүүлэх арга зам юм. 1990 оны дунд үе хүртэл 300 жилийн турш Фермагийн их теорем руу дайр­сан маш олон том оролдлогын үр дүн нь алгебрь, геометр гэж чухал сал­баруудад үр нөлөө авчирсан. Өөрөөр хэлбэл, тэр проблем үүргээ гүйцэт­гэчихсэн. Ганцхан рекордын сонирхол үлдчихгүй юу. Тэрнээс бус Фермагийн их теоремыг баталсан үгүйгээр мате­матикийн тогтолцоонд нэг том өөрч­лөлт, нэг их хохирол гарахгүй. Гэхдээ бол математикчид ямар ч проблемыг хүн төрөлхтний өмнөөс батлах ёстой биз дээ.

-Хүний нийгмийн хөгжилд өнөө­­­­дөр математик ямар үүрэгтэй байна вэ. Жишээлбэл, өнөөдрийн ард­чилсан нийгмийг  математик үүд­нээс судалсан болов уу?

 -Математик өөрийн гэсэн захиал­гатай. Нийгмийн салбарт ардчиллын онолыг судалсан алдарт Эроугийн теорем гэж бий. Төгс төгөлдөр ард­чилал гэж байхгүй. Ардчиллын үндсэн суурь зарчим нь логик зөрчилтэй. Онолын хувьд ардчилал гэж байхгүй гэсэн ийм теоремуудаас авахуулаад нийгмийн хэрэглээний шийдлүүд бий. Нөгөө тал нь Гёделийн гүйцэд бус байдлын теоремтой холбоотой, нэг асуудлыг шийдэхэд дараа нь тухайн онолд байгаа арга хэрэгслээр шийдэг­дэхгүй асуудал гарч ирсээр байдаг. Дахиад түүнийг аваад явах механизм нь өөрөө математикт байгаа юм. Бид хүний нийгэмд амьдарч байгаа учраас тодорхой хэмжээгээр математикийн аппаратыг татаж ашиглах хамтын тохиролцооны асуудлууд байна.

-Та математикийн хоёр соёлын тухай ярилаа. Математикч хоорон­дын зөрчилдөөн бас их байдаг уу?

-Математикт хэд хэдэн зөрчил бий. Тасралтгүй математик үздэг урс­галуудын хооронд төдийгүй тухайн бодлогыг шийддэг хүмүүсийн хооронд, онолын том асуудлуудыг бүр цогцоор нь авч үздэг урсгалууд хоорондоо зөрчилтэй байдаг. Ямар зөрчил үүсдэг вэ гэхээр тухайн бодлогыг шийд сэнээс бүр том онолын аппарат боловс­руулаад, арга хийгээд тэр ерөнхий аргаас тухайн бодлогоо гаргах нэг урсгал.  Энэ нь ерөнхийгөөс тусгайг гаргах гэсэн санаа. Нөгөө нь бол  индукцийн санаа. Тодорхой тохиолд­лоос ерөнхийг гаргах гэсэн ийм л хоёр юм. Индукц, дедукц гэсэн энэ хоёр зарчим аль аль нь бие биеэ нөхөж байдаг. Онолын түвшний сэтгэлгээнд бол ихэвчлэн нарийн логик, фило­софийн сэтгэлгээнүүд хэрэгтэй.

-Математикийн шинжлэх ухаан хүний нийгэмтэй салшгүй хол­боотой. Хүний нийгмийг дагаад хөгждөг юм биш үү?

-Би үүнтэй санал нийлэхгүй. Нийг­мийн захиалгаар, хамтын тохирол­цооны шаардлагаар математикийн зарим салбар дайчлагдаж байна. Хэзээ хэрэглэгдэх нь мэдэгдэхгүй өөрийн­хөө дотоод логикоор явж байгаа онолын судалгаа хийж байгаа мате­матикийн салбарууд байна. Гёделийн гүйцэд бус байдлын теоремын агуул­гаар явж байгаа гэсэн үг. Өөрөөр хэлбэл тухайн онолд шийдэгдээгүй байгаа асуудлыг шийдэх замаар урагшилж байна. Ер нь бол шинжлэх ухаан судлаачид математикийг хүний нийгмээс 400 гаруй жил түрүүлж яваа гэж үздэг. Математикийн үр дүн­гүүдийг амьдралын хамтын тохирол­цооны урсгал руу оруулахад хүний нийгэм дор хаяж 400 жил хөгжих ёстой л гэж үздэг.

-Бидний өнөөдрийн тулгамдаж байгаа асуудлыг хэдэн зуун жилийн өмнө шийдэж болох байсан уу?

-Болох байсан. Аль Евклидийн үед шийдсэн асуудлыг одоо хүртэл сурч үзэж байна. Дунд сургуулийн үзэж байгаа математик гэдэг маань эрт дээр Евклидийн үед л хамаарна.

-Математикт үндэсний онцлог гэж байна уу. Жишээлбэл, эртний Грек тооны ухааны төв нь байсан гэдэг. Одоо Унгарын математикчид их хүчтэй гэж яригддаг?

-Математикийн авьяас хаана илүү заяадаг вэ гэдэг нь сонирхолтой сэдэв. Еврей хүн бол сайн санхүүч байдаг гэдэг нь дэлхий нийтээр хүлээн зөв­шөөрсөн зүйл. Хятад хүн бол их ажилсаг, маш бага зардлаар ихийг бүтээж чадах улс гэж яригддаг. Унгарын математикчид дэндүү сод гэж тэмдэглэгдсэн байдаг. Үндэсний онцлогтой холбоотой эсэхийг мэдэх­гүй.

Нэг үнэнийг хэлэхэд, математик үзэхэд нэг хэсэгтээ тухайн асуудал дээр талх тариа, гэр бүл үр хүүхэд, өөр бусад хэнээс ч хамааралгүйгээр суух хэрэгтэй. Бүхнийг мартаж чадах хэрэгтэй. Олон сар жилээр тэр асуу­дал дээр бодит ертөнцөөс таслагдаад суух хэрэгтэй нь гарцаагүй. Тийм нөхцөлийг бүрдүүлсэн үндэсний ухам­сар, ерөнхий суурь Унгарт байж болох юм л даа.  Жишээлбэл, Унгар хөгжмийн олон алдарт зохиолчтой. Листийн төгөлдөр хуурын аялгуунууд одоо хүртэл дуурсдаг. Түүн шиг Унгарын математикт тоолоод баршгүй олон авьяастнууд бий. Бусад орны мате­матикчдыг цөөн гэж байгаа хэрэг биш.

Унгарт сүүлийн үед математикт гарч байгаа эрс шинэчлэлтэй хол­боотой, ялангуяа комбинаторик, гра­фийн онол зэргийг үзсэн математикч дын тоо тасархай байгаа юм. Гэтэл энэ бүхэн ганц, хоёр хүнтэй л хол­боотой. Тэдний нэг Пол Эрдеш гэж бодлого бодогч алдартай хүн байдаг. Тэр хүний нөлөө асар их. Залуу­чуудад мате­матик ийм гоё юм уу гэсэн  уриалан дуудсан, сар жилүүдийн бэрхшээлийг мартуулахуйц гэгээлэг сайхан шийд­вэрлэх нөлөөг үзүүлсэн болов уу. Хаа нэгэн газар хувь хүний фактор их  чухал.

-Маргааш юу болох гэж байгааг өнөөдөр хэн ч мэдэхгүй. Үүнд та ямар хариулт өгөх вэ?

-Санамсаргүй байдал гэдэг маань өөрөө энэ хорвоогийн хамгийн том зүй тогтол. Юм санамсаргүй байна гэдэг сайхан. Яагаад гэвэл бүгд адилхан боломжтой болчихдог. Ертөнц санамсаргүй хуультай байсан бол өдийд бид ертөнцийн зүй тогтлыг үнэлчихсэн байгаа. Тэгэхээр санам­саргүйгээс илүү гоё ганган зүй тогтлууд байдаг бөгөөд зарим нэг тохиолдолд түүнийг олж илрүүлэх авьяас билгийг хаа нэгтээ хэн нэгэнд харамгүй өгсөн байна. Жишээлэхэд, Пол Эрдешийн тэр хийсэн ажлуудыг хараад л гайхдаг юм.  Ямар их авьяастай хүн бэ гэж.

-Математикийн гоо сайхан ур­лагийн гоо сайхнаас юугаараа ялгаатай вэ. Энэ хоёр нэг байж чадах уу?

-Энд олон асуудал гардаг. Мате­матикийн хүнд бодлогыг их хялбар аргаар шийдсэн баталгааг аваад бусад хүмүүст ярих, их гоё хийлийн аялгууг сонсгох, маш сайхан уран зураг үзүүлэх зэрэг нь өөр. Яг жинхэнэ урлагийн бүтээлийг, дээд түвшинд бичсэн хөгжмийн зохиолыг жирийн хүн тэр бүр анзаардаггүй. Хөгжим, уран зурагт хамтын тохиролцооны зарч­мууд нөлөөлдөг. Ээж чинь чамайг хэвлийд байхад тэр хөгжмийг сонсдог байсан бол, уран зургийн хоршил зохиомжийг харсаар байсан бол төрөхдөө чи тэр гоо сайхныг хүлээж авах мэдрэмжтэй л байна гэсэн үг. Хүнд сэтгэгдэл үлдээдэг хоёр эрхтэн бол мэдээж нүд, чих. Математикийн гоо сайхныг мэдрэхэд тархи өөрөө үүний адил бэлтгэлтэй байх шаард­лагатай. Математикийн хүнд асууд­луудыг энгийн, хялбар шийдсэн бай­вал түүнийг гоо сайхан гэж үздэг зарчим л үйлчилж байгаа юм. Гоо сайхны тухай ухагдахуун бол ерөөсөө байгаа байдал нь, бүтэц нь энгийн, хүн хүлээж авахад хялбар байх ёстой юм.   

-Математикчид философич бай­­­­даг. Философи, математик хоёрын холбоо хамаарал гэж юу байна вэ?

-Философи бол хүний ертөнцийг үзэх баримтлалуудын янз бүрийн хувилбарууд.  Математик бол өөрийн гэсэн арга хэрэгслээр ямар зүй тогтол байна вэ гэдгийг эрэлхийлж байдаг ухаан.  Философичдод математикаас авах зүйл их бий. Ямар юмыг үнэн гэж үзэх вэ. Абсолют үнэн, харьцангуй үнэнээс эхлээд. Томоохон мате­матик­чид өнөөдөр ертөнц математик хуультай л гэж хариулж байна.

-Дээд оюун руу математикаар дамжиж хүрч болох уу?

-Наадах чинь ертөнцийн тухай сүүлчийн асуулт шүү дээ. Бурхан байна уу, үгүй юу гэдэгтэй ижилхэн. Кантын философийг үзэж байхад хүнийг анх төрөхөд тархинд нь Евк­лидийн геометр, натурал арифметик суулгаатай гэсэн байдаг. Байгалиас хүнд сонгодог математикийг тархинд нь суулгасан байна. Байгаль өөрөө тэр болгон гурван хэмжээст огторгуй, натурал тоогоор дуусдаггүй. Үүл хэдэн хэм­жээстэй вэ гэвэл бутархай хэм­жээстэй. Нэг хэмжээстэй, хоёр хэм­жээстэй гэх нь хангалтгүй. Өөрөөр  хэлбэл байгаль дээр байгаа зүй тогтлыг тогтооход авьяас чадвар, зөн билэг хангалтгүй. Үүнийг л Кант сайн хэлсэн байдаг. Цаашаа хүний оюун синтетик болж ертөнц дээр байгаа илүү нарийн зүй тогтол руу, дээд оюун руу ойртох ёстой гэж үздэг.

-Та олон шавь төрүүлсэн. Бас­хүү математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай “Олонлог” төв сур­гуулийг үүсгэн байгуулсан. “Олон­лог”  нэртэй сэтгүүл гаргадгийг математик сонирхогчид шимтдэг. Ер нь таны математикт хийсэн гол ажил тань юу вэ гэдгийг асуумаар байна?

-Миний хувьд ОХУ-д 1982-1991 оныг дуустал сурч байсан. 1985-1991 онуудад математикийн хүнд асууд­лууд дээр Оросын математикчдын дэмжлэгтэйгээр суух боломж гарсан. Тэр үед амьдрал илүү чамин юмгүй байлаа. Тэгэхэд миний өмнө 30-аад жил зогссон байсан асуудлыг шийд­сэнээрээ би одоо ч бахархаж явдаг. 2005 онд Оросын Шинжлэх Ухааны Академийн “Успехи математических наук” гэж журнал дээр миний гаргасан үр дүнг, баталсан теоремыг мате­матикийн амжилт хэмээн зарлаж гаргасан байна лээ. Намайг тэр ажлыг хийж үр дүн гаргаснаас хойш 15 жилийн дараа үнэн гэдгийг нь баталж зарлаж байгаа юм. Үр дүнг батлахад хугацаа шүүлтүүр хэрэгтэй л дээ. Монгол хүний баталсан теорем математикт гаргасан шинжлэх ухааны амжилтыг баталж нийтэлдэг сэтгүүл дээр зар­лагд­санд баярлаж л байдаг. “Олонлог” сургууль дээр пүрэв гариг бүр се­минар хийж цэвэр мате­ма­тикийн маш гоё үр дүнгүүдийг ярилцаж хэлэлцдэг. “Олонлог” гэж энэ сэт­гүүлийг ашгийн төлөө бус гаргаж байна. Мэдээж энэ бол зах зээлийн хамтын тохирол­цооноос ангид л явж байна гэж боддог. Зарим нэгэн мэддэг хүн хэн ч унш­даггүй гэж ирээд буурьгүй үг дуугараад явдагт нь гайхдаг, түүнд зориулж гаргаж байгаа бус, монгол хүн биш л юм байлгүй гэж бодохоос өөр зүйл санаанд буудаггүй юм даа.

 Ж.ГАНГАА